Ik stelde een meetkundevraagje aan ChatGPT

Ik stelde een meetkundevraagje aan ChatGPT, met een bijhorend tekeningetje. Ik zag dit voorbeeld op internet, en wilde het zelf eens proberen.

Zie de rechthoekige driehoek in de afbeelding, met rechthoekszijden lengte 3 en 4. Op de schuine zijde staat een vierkant met oppervlakte 4. Wat is de lengte van lijnstuk x?

Volgens mij is dit meetkunde 2e klas. Ik zou antwoorden: De schuine zijde is (Pythagoras) √(3²+4²) = 5. De zijde van het vierkant is  √4 = 2. Het lijnstuk x is 5 - 2 = 3. 

Drie stapjes. ChatGPT doet de eerste twee goed, en maakt dan een flinke omweg, om uiteindelijk (het moet gezegd) met het goede antwoord te komen. 

ChatGPT zei:

Laten we dit nauwkeurig berekenen — het is subtieler dan het op het eerste gezicht lijkt.

1️⃣ Bekende gegevens

 

Rechthoekszijden: 3 en 4 

 

Schuine zijde (hypotenusa): c = √(3²+4²) = 5 

Vierkant op de schuine zijde: oppervlakte 4 ⇒ zijde s = √4 = 2. 

Het vierkant “staat” dus recht op de schuine zijde, buiten de driehoek. 

 

2️⃣ Wat moeten we vinden?

De lengte $x$ — de afstand langs de schuine zijde van de top van de driehoek tot het punt waar het vierkant begint.

Het vierkant verandert de helling; het staat onder een hoek van 90° op de schuine zijde. Daardoor ligt het beginpunt van het vierkant niet op dezelfde lijn als de driehoek wanneer je de projectie bekijkt.

3️⃣ Geometrisch verband

We kunnen dit oplossen met behulp van gelijkenis van driehoeken.

De helling van de schuine zijde is:

tan⁡ θ = 3/4 ⇒ sin ⁡θ = 3/5, cos ⁡θ = 4/5. 

De zijde van het vierkant is s = 2. 

De hoogte van het vierkant, gemeten verticaal, is dus niet 2, maar 2·cos θ (de projectie op de hoogte van de driehoek), en de horizontale projectie is 2·sin θ.

De nieuwe kleine driehoek boven de vierkantvoet is vergelijkbaar met de oorspronkelijke driehoek (zelfde helling).

4️⃣ Vergelijking voor de kleinere driehoek

De driehoek boven het vierkant heeft rechthoekszijden evenwijdig aan die van de grote driehoek. 

Laat x de lengte van zijn schuine zijde zijn. 

De verhouding tussen driehoek en oorspronkelijke driehoek is gelijk aan de verhouding van hun hypotenusen: x/5 = hoogte/3 = basis/4. 

De hoogte van de kleine driehoek is 3 − s sin⁡ θ, want de vierkantpunt “snijdt” een stukje af: hoogte kleine driehoek = 3 − 2 sin⁡ θ = 3 − 2 ⋅ 3/5 = 3 - 6/5 = 9/5. 

De verhouding van de hoogten is dus: (9/5)/3 ​= 9/15 ​= 3/5​. Daarom: x/5 = 3/5 ⇒ x = 3. 

✅ Antwoord

x=3. 

Einde antwoord ChatGPT

Pffffffffffffffffff. Als ik op de MULO zo zou hebben staan orakelen voor het bord zou mijn oude wiskundeleraar, de goede heer Quapp, een trekje nemen van zijn sigaartje, de ogen wat toeknijpen en (met een onmiskenbaar Indisch accent) zeggen: 'Je hebt je les goed geleerd jongen. Maar nou lieg ik!' En een drie of zo noteren in zijn oranje notitieboekje.